LC 振荡电路周期公式的推导

高中物理·电磁波·LC 振荡电路 | 高等数学·微分方程

预备知识

1. 复合函数的求导 $(f(ax+b){)}^{\prime }=a{f}^{\prime }(ax+b)$。
2. 二阶导 $f^{″}(x)=(f^{\prime }(x){)}^{\prime }$，例如 $(x^2{)}^{″}=(2x{)}^{\prime }=2$。
3. 自感电动势 $\epsilon$ 与自感系数 $L$ 的关系：$\epsilon =L\frac{\mathrm{\Delta }I}{\mathrm{\Delta }t}$。

公式

我们已经知道，在 LC 振荡电路中，有周期

$$\begin{array}{r}T=2\pi \sqrt{LC}\end{array}$$

其中 $L$ 为自感系数，$C$ 为电容。但这从何而来？

书上没有的原因也很简单，和单摆/弹簧简谐运动的周期公式一样，超出了高中数学的知识范围。

另类的方程

我们对于这整个过程到底能不能列表达式？

其实是可以的。我们只需要抓住 $L$ 的定义（为了表征电势差的符号，我们添加负号以显示“阻碍”电流减小的作用）：

$$\begin{array}{r}\epsilon =-L\frac{\mathrm{\Delta }I}{\mathrm{\Delta }t}\end{array}$$

由于我们需要求解瞬时关系，令 $\mathrm{\Delta }t\to 0$，则 $\frac{\mathrm{\Delta }I}{\mathrm{\Delta }t}=I^{\prime }(t)$，下同。

那么，$\epsilon$ 又是什么呢？因为电路无电阻，电容器和自感线圈始终无电势差，所以保持 $\epsilon =U$，$U$ 为电极板两端电压，$U=\frac{Q}{C}$。

于是我们得到：

$$\begin{array}{r}\frac{Q(t)}{C}=-L{I}^{\prime }(t)\end{array}$$

接下来，因为 $I=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}=Q^{\prime }(t)$，所以本质上我们可以把 $Q,I$ 表示为关于 $t$ 的函数，用导数描述瞬时状态。

$$\begin{array}{r}\frac{Q(t)}{C}=-L{Q}^{″}(t)\end{array}$$

这样我们就得到了一个另类关于 $Q(t)$ 的方程。像这样既有原函数又有导函数的方程，称为 微分方程。

求解

严格的证明超出高中知识范围太多，所以我们考虑“凑”出来一个解。

将上式变形：

$$\begin{array}{r}\boxed{{\displaystyle Q^{″}(t)=-\frac{Q(t)}{LC}}}\end{array}$$

由于周期性大多涉及三角函数，我们联想到三角函数的求导：

$${\sin }^{\prime }x=\cos x,{\cos }^{\prime }x=-\sin x$$

所以有：${\sin }^{″}x=-\sin x$，也就是说当二阶导为原函数的负常数倍时，函数很有可能和三角函数有关。

那么多出的系数从何而来？

$$(\sin \omega x{)}^{\prime }=\omega \cos \omega x,(\omega \cos \omega x{)}^{\prime }=-{\omega }^2\sin \omega x$$

从复合函数的求导中来。

所以，我们要构造 ${\omega }^2=\frac{1}{LC}$，也就得到了：

$$\begin{array}{r}\boxed{{\displaystyle \omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}}}\end{array}$$

而 $\omega$ 在三角函数中本就有其自身的含义：角速度。

于是：

$$\begin{array}{r}\boxed{{\displaystyle T=\frac{2\pi }{\omega }}}\\ \boxed{{\displaystyle T=2\pi \sqrt{LC}}}\end{array}$$

证毕。

备注：事实上，此类方程通解为：

$(A\sin (\omega t+\varphi ){)}^{″}=-A{\omega }^2\sin (\omega t+\varphi )$。但我们只需要求解周期。

结论

我们可以得到结论：

$$f^{″}(t)=-Kf(t)⟺\omega =\sqrt{K}⟺T=\frac{2\pi }{\sqrt{K}}$$

在上式中，因为 $K=\frac{1}{LC}$，才有了我们常用的公式。

• 正因为在电势差的等式中 $L$ 在分子而 $C$ 在另一侧的分母，所以才会有 $LC$；
• 正因为我们用到了二阶导函数，$(\sin \omega x{)}^{″}={\omega }^2\sin \omega x$，所以才会出现根号；
• 正因为涉及到了三角函数，所以才会出现 $2\pi$。

拓展

简谐振动的周期推导

根据简谐振动的判定及牛顿第二定律，有：

$$\{\begin{array}{rl}F& =-kx\\ F& =ma\end{array}$$

因为 $\boxed{{\displaystyle a(t)=x^{″}(t)}}$，所以有：

$$\boxed{{\displaystyle x^{″}(t)=-\frac{k}{m}x(t)}}$$

代入刚才的结论，此时对应

$$K=\frac{k}{m}$$

所以：

$$T=2\pi \sqrt{K}=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

单摆公式的周期推导

因为单摆是基于简谐振动推出的（利用了小角度的近似），所以有：

$$F=-mg\sin \theta =-mg\theta =-mg\frac{x}{L}$$

也就是说，简谐振动中的 $k=\frac{mg}{L}$ 。

代入得：

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

一切都源于这个二阶微分方程。

注：关于二阶常系数微分方程的通解，可以自行上网搜索。