几何证明：扇形弧上任意一点到两边的垂线的垂足间的距离为一定值

中学数学·平面几何·四点共圆

高中数学·三角恒等变换·正弦两角和公式

证明：

如图，设 $\mathrm{\angle }\text{POA}=\alpha ,\mathrm{\angle }\text{POB}=\beta ,\mathrm{\angle }\text{AOB}=\gamma ,\text{PO}=r$。 则：

$$\begin{gathered} \text{OC}=r\cos \alpha ,\text{OD}=r\cos \beta , \\ \text{CP}=r\sin \alpha ,\text{DP}=r\sin \alpha \end{gathered}$$

由 $\mathrm{\angle }\text{PDO}+\mathrm{\angle }\text{PCO}={180}^{\circ }$ 得 $\text{O,C,P,D}$ 四点共圆。

由托勒密定理得：

$$\begin{array}{rl}\text{OP}\cdot \text{CD}& =\text{DP}\cdot \text{OC}+\text{OD}\cdot PC\\ r\cdot \text{CD}& =r\sin \alpha \cdot r\cos \alpha +r\cos \beta \cdot r\sin \alpha \\ \text{CD}& =r(\sin \alpha \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha )\end{array}$$

由正弦两角和公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \beta \sin \alpha$ 得

$$\text{CD}=r\sin (\alpha +\beta )=r\sin \gamma$$

由于半径 $r$ 和扇形圆心角 $\gamma$ 都是定值，所以在圆心角不超过180°的扇形中，弧上任意一点到两边的垂线的垂足间的距离为定值，恒为半径与圆心角正弦值的乘积 $r\sin \gamma$。