导数与单调性的严格关系

高中数学·导数·导数与函数单调性

预备知识

导数、切线的定义

背景

研究对象：在区间 $I$ 上处处可导的函数 $f(x)$。

我们想要知道，函数在 $I$ 上的单调性与导数的关系。

直觉告诉我们，导数正即增，导数负即减。但是实际上，这句话只满足充分性，而我们若将其视作充要条件，则有逻辑漏洞：

反例 1

$$y=x^3,x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$$

这个函数在 $x=0$ 处，导数 $y^{\prime }=0$，但函数严格递增。

究其根本，是因为：

$$y^{\prime }=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h^3-0^3}{h}=\underset{h\to 0}{lim}{h}^2=0$$

导数为 0 只是因为在趋于 0 时，$h^2$ 的值是 0，而实际比较时，只要 $x_2>x_1$，总会有 $x_2^3-x_1^3>0$。

反例 2

我们考虑把判断条件改成 $y^{\prime }\ge 0$ 恒成立。但对于：

$$y=0$$

等常值函数，也符合该条件，但并不严格递增。

反例 3

那么是不是只要不是常值函数就一切安好呢？也不是。考虑下一个反例：

$$y=\{\begin{array}{rl}{x}^3,& x<0,\\ 0,& 0\le x\le 1\\ (x-1{)}^3,& x>1\end{array}$$

可能超出你的想象，但这个函数仍然可导。无论是在 $x=0$ 还是 $x=1$ 处，两侧的割线逼近都是同一条直线 $y=0$，也就是 $y^{\prime }=0(x\in [0,1])$。

我们想到，只要不是连续有几个数等于 $0$，就不会改变严格单调性。

但是在实数范围内，没有任何两个确定的数是连续的。

关键在于，连续的数必然组成一个区间，所以只要保证没有一个区间上导数均为 0 即可。

结论

所以，我们有更精确的定义：

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上处处可导，则：

• $f(x)$ 单调增 $⟺$ $f^{\prime }(x)\ge 0,x\in I$ 恒成立。
• $f(x)$ 严格增 $⟺$ $f^{\prime }(x)\ge 0,x\in I$ 恒成立，且不存在一个子区间 $I_0\in I$，使得 $f^{\prime }(x_0)=0,x\in I_0$ 恒成立。

亦可改写成：$f^{\prime }(x)\ge 0,x\in I$ 恒成立，且对于任意一个子区间 $I_0\in I$，总存在一个 $x_0\in I_0$，使得 $f^{\prime }(x_0)>0$。

单调减、严格减相应变号即可。

可以看到，严格的定义来源于反例的多样。积累常见的反例有助于我们提高严谨的数学思维。