ALG不等式及二元均值不等式的对称证明

高中数学·不等式·均值不等式 | 高中数学·导数·ALG 不等式

一、 预备知识

1.1 二元均值不等式

对任意$a,b>0$且$a\ne b$，有严格不等式链：

$$\begin{array}{r}\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}>\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}>\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\end{array}$$

对应四类均值：

• $Q$（平方平均）
• $A$（算术平均）
• $G$（几何平均）
• $H$（调和平均）

1.2 对数平均（ALG 不等式）

对数平均的定义：

$$L(a,b)=\frac{a-b}{\ln a-\ln b}(a\ne b)$$

需证不等式链：

$$A>L>G$$

二、对称换元策略

2.1 换元设计

常规的证明方法往往令 $a=tb$ 来进行换元，但这种换元方法使得 $a,b$ 出现了一次项 ($t$) 和常数项的不对称性，证明可能更加繁琐。

为消除 $a,b$ 的不对称性，考虑构造一个乘 $t$，一个除以 $t$。引入参数：

$$\{\begin{array}{l}m=\sqrt{ab}\\ t=\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}(t>1)\end{array}$$

则原变量可对称表达为：

$$a=mt,b={\displaystyle \frac{m}{t}}$$

2.2 特征分析

• 由于所有均值具有齐次性（即缩放不变性），故 $Q,A,L,G,H$ 对参数 $m$ 呈线性关系。
• 由于所有均值具有轮换对称性，故只需判断 $\boxed{{\displaystyle t>1}}$ 时的情况即可。

三、不等式证明

3.1 算术平均 > 对数平均（$A>L$）

$$\begin{array}{rlr}A& =\frac{mt+\frac{m}{t}}{2}& =\frac{t+\frac{1}{t}}{2}\cdot m\\ L& =\frac{mt-\frac{m}{t}}{\ln (mt)-\ln \left(\frac{m}{t}\right)}& =\frac{t-\frac{1}{t}}{2\ln t}\cdot m\end{array}$$

等价于：

$$\begin{array}{rl}\frac{t+\frac{1}{t}}{2}& >\frac{t-\frac{1}{t}}{2\ln t}\\ \ln t& >\frac{t^2-1}{t^2+1}\end{array}$$

步骤三：导数验证

令$f(t)=\ln t-{\displaystyle \frac{t^2-1}{t^2+1}}$，求导：

$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-\frac{4t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{(t^2-1{)}^2}{t(t^2+1{)}^2}>0\end{array}$$

结合$f(1)=0$，得$f(t)>0$恒成立。

3.2 对数平均 > 几何平均（$L>G$）

只需证：

$$\begin{array}{rl}L=\frac{t-\frac{1}{t}}{2\ln t}\cdot m& >m=G\\ t-\frac{1}{t}& >2\ln t\end{array}$$

约去$m$得：

$$$$

步骤二：构造函数分析

令$g(t)=t-{\displaystyle \frac{1}{t}}-2\ln t$，求导：

$$\begin{array}{r}{g}^{\prime }(t)=1+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}={(1-\frac{1}{t})}^2>0\end{array}$$

结合$g(1)=0$，得$g(t)>0$恒成立。

3.3 几何平均 > 调和平均（$G>H$）

即证：

$$\begin{array}{r}\sqrt{ab}=m>\frac{2}{\frac{1}{mt}+\frac{t}{m}}=\frac{2m}{t+\frac{1}{t}}\end{array}$$$$\begin{array}{r}t+\frac{1}{t}>2\end{array}$$

此为基本不等式，当$t\ne 1$时严格成立。

四、方法总结

关键技巧	应用示例	优势分析
对称参数化	$a=mt,b=\frac{m}{t}$	消除变量不对称性
齐次性约简	约去公共因子$m$	降维简化问题
构造函数法	$f(t)=\ln t-\frac{t^2-1}{t^2+1}$	将不等式转化为函数单调性

这体现了：

1. 对称换元法在不等式证明中的普适性
2. 导数工具在验证函数单调性中的核心作用
3. 齐次性特征对简化问题的指导意义