导数压轴题：曲线与直线的最小横坐标距离

高中数学·导数与函数·极值问题

高中数学·函数与方程·交点个数

一、题目引入

背景

在高考导数压轴题中，经常考察曲线与直线的交点问题。本题是这类题型的一个经典例子：

题目

已知曲线 $\mathrm{\Gamma }:y=e^x$，直线 $l:y=kx+\sqrt{e}$，若两者有两个交点 $A,B$，记 $d(k)=|x_B-x_A|$，求使得 $d(k)$ 最小的 $k$ 值。

题意解读

我们需要理解题目在问什么：

符号	含义
$\mathrm{\Gamma }$	指数函数 $y=e^x$ 的图像
$l$	斜率为 $k$，截距为 $\sqrt{e}$ 的直线
$d(k)$	直线与曲线两交点的横坐标之差的绝对值
$k_0$	使 $d(k)$ 最小的斜率值

几何直观上，当直线旋转（改变 $k$）时，与指数曲线 $y=e^x$ 的交点距离会发生变化：太过平缓，较小的根太远；太过陡峭，较大的根太远，所以应该存在最值。

二、解法一：导数相等法

核心思路

设两个交点为 $A(x_1,e^{x_1})$，$B(x_2,e^{x_2})$，则它们都满足直线方程：

$$k=\frac{e^{x_i}-\sqrt{e}}{x_i},i=1,2$$

定义辅助函数：

$$f(x)=\frac{e^x-\sqrt{e}}{x}$$

则 $f(x_1)=f(x_2)=k$，即直线与曲线的交点横坐标就是方程 $f(x)=k$ 的两个根。

关键洞察：极值条件

当 $|x_2-x_1|$ 取得最小值时，对应的两条切线（$y=f(x)$ 在 $x_1$ 与 $x_2$ 处的切线，注意不是 $y=e^x$！）必定平行（斜率相等）。

理由：$f(k_0)$ 是连续函数 $f(k)$ 的最小值，即无论在 $k_0$ 的基础上稍作加减，距离都会变大；而如果此时两处斜率不相等，则可以向上/下移动使其更小。

设这两条切线的斜率为 $m$，则：

$$f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_2)=m$$

推导过程

求导得：

$$f^{\prime }(x)=\frac{x{e}^x-e^x+\sqrt{e}}{x^2}=\frac{(x-1)e^x+\sqrt{e}}{x^2}$$

令 $f^{\prime }(x_i)=m$，代入 $e^{x_i}=k{x}_i+\sqrt{e}$，化简得：

$$(k-m)x_i^2+(\sqrt{e}-k)x_i=0$$

分类讨论：

• 若 $k-m\ne 0$，则方程有解 $x_i=0$，但 $x=0$ 不是交点（否则斜率不存在），矛盾！
• 因此必须有：$k-m=0$ 且 $\sqrt{e}-k=0$，方程退化为 $0=0$ 的无约束状态。

解得：

$$\boxed{{\displaystyle k_0=\sqrt{e}}}$$

验证

当 $k=\sqrt{e}$ 时，$e^{x_i}=\sqrt{e}(x_i+1)$，代入 $f^{\prime }(x_i)$ 确实等于 $\sqrt{e}$，满足条件。

总结分析

1. 风险点：极值条件推出的导数相等难以用高中的数学语言说明；
2. 坑点：列完导数方程没想到 $k-m$ 可以等于 $0$，于是以为必定矛盾而放弃。
3. 优势：计算较为简便，视角高阶。

三、解法二：分离变量法

核心思路

将 $k$、$x_1$、$d$ 三个变量统一为两个函数的关系，利用单调性求解。

步骤一：建立方程

由交点条件：

$$\{\begin{array}{l}k{x}_1+\sqrt{e}=e^{x_1}\\ k{x}_2+\sqrt{e}=e^{x_2}\end{array}$$

两式相减，得：

$$k(x_2-x_1)=e^{x_2}-e^{x_1}$$

设 $d=x_2-x_1>0$，$x_1<0<x_2$（由图像易知），则：

$$kd=e^{x_1}(e^d-1)$$

步骤二：变量分离

将 $k$ 用 $x_1$ 表示：

$$k=\frac{e^{x_1}-\sqrt{e}}{x_1}$$

代入上式并整理：

$$\frac{e^{x_1}-\sqrt{e}}{x_1{e}^{x_1}}=\frac{e^d-1}{d}$$

步骤三：构造两个函数

令：

$$g(x)=\frac{e^x-\sqrt{e}}{x{e}^x},f(d)=\frac{e^d-1}{d}$$

则原方程化为 $g(x_1)=f(d)$。

步骤四：利用单调性

• $f(d)$ 的单调性：$f^{\prime }(d)>0$，故 $f(d)$ 在 $d>0$ 上严格递增
• $g(x)$ 的极值点：求导可得 $g^{\prime }(x)=0$ 等价于 $e^x=\sqrt{e}(x+1)$，其唯一解记为 $x_0$

当 $d$ 最小时，$f(d)$ 最小，则 $g(x_1)$ 最小，即 $x_1=x_0$。

代入验证：

$$k=\frac{e^{x_0}-\sqrt{e}}{x_0}=\sqrt{e}$$

故：

$$\boxed{{\displaystyle k_0=\sqrt{e}}}$$

总结分析

1. 风险点：$g(x)$ 的求导、论证唯一极小值点较为复杂。
2. 坑点：习惯性用 $x_1$ 和 $k$ 去代换 $e^{x_1}$ 而非用 $x_1$ 代换 $k$，导致参数数量无法减少（一次项的 $x_1$ 也十分棘手）。
3. 优势：较为贴合高中的论证模式。

四、练一练

若将直线改为 $y=kx+e$，其余条件不变，求 $k_0$。

五、结语

导数压轴题的核心在于构造函数与利用单调性。

本题的关键在于：

1. 【解法一】理解这一事实：当直线 $y=y_0$ 与曲线 $y=f(x)$ 两交点间距最小时，对应的切线必定平行，即$f^{\prime }(x_1)=f^{\prime }(x_2)$。
2. 【解法二】通过依据题设引导换元，并尽可能使方程中的未知数数量尽可能少，实现参变分离。